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严谨与模糊——数学教学之我见

作者:秦昌峰   来源:   点击:2462   时间:2012-12-17   编辑:信息中心

严谨与模糊——数学教学之我见

       江西九江外国语学校    田先发     

关键词:数学   严谨性   模糊

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学,具有严密的符号体系、独特的公式结构、形象的图像语言,对培养学生思维品质的作用无可替代。严谨性是数学科学的重要特征之一。它要求数学结论的叙述必须精练、准确,而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格,又周密。

但是由于学生知识所限以及不同的教学目标要求,教学中对一些数学概念在学生能够理解基础上不一定强调其严谨性。学生受到能力、知识限制,有时反而越解释学生越糊涂,因此数学教学中一定要把握好严谨性,哪些地方需要强调严谨,哪些地方需要模糊,值得我们平时教学中思考。

(—)在保证学生理解的基础上把握内容的科学性。
  考虑学生的理解能力和教学上的实际需要,中学数学内容的严谨性要求可以适当降低,但必须保证对相应的数学内容要有正确的理解和掌握。
  例如,概率的统计定义通常可以这样叙述:
在相同的条件下做大量重复实验,一个事件 A 出现的次数 m 和总的实验次数 n 之比,称为事件 A 在这 n 次实验中出现的频率。当实验次数 n 很大时,频率将稳定在一个常数附近。 n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小,这个常数称为这个事件的概率。我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了“可能性”,这指的就是概率。你可以设法避免这类词出现,但其本质的意义无法避免。有的人去探讨“实验”等词的定义。事实上,“做一次实验”并不难理解。如掷一枚硬币,摸两个球,等等。个别复杂的实验也不难向学生解释。把“做一次实验”定义为“条件实现一次”,反而更难让人理解。什么叫“条件”?什么叫“实现”?这显然是不恰当的。

例如,我们可以用“无限接近于”等较形象的语言来描述数列或变量的极限概念,而不用“ε-δ”式的严格定义。但是,在结合实例进行描述时,必须讲清楚,这是某些无穷变量变化时的一种变化趋势,不要让学生误以为这是取无穷变量的近似值。

    (二)在保证学生理解的基础上发展学生的逻辑思维能力。
  发展学生的逻辑思维能力,是中学数学课的重要目的之一。而数学的严谨性要求,正是发展学生逻辑思维的核心环节。逐步加强教学内容的严谨性,并使学生真正消化理解,是培养学生逻辑思维的重要措施,也为今后教学进一步提高严谨性创造了有利条件。不断地丰富学生的数学语言就是一项十分关键的工作,它不仅达到上述目的,还有利于提高学生阅读数学书籍的能力。

    如在任意角三角函数课上教师从复习初中三角函数定义出发,引导学生回忆初中三角函数相关概念和性质。为了数学的严谨性,教师对任意角三角函数又重新作了定义,这就产生了复习初中三角函数定义目的是什么呢?虽然学生掌握了任意角三角函数定义,是否真正知道其中内涵呢?值得怀疑。

  数学很多定义是在学生不断的认识过程中进行深化的,如函数概念在初中学生就有所涉及,其概念只作了描述性定义,高中虽然也讲了函数定义,仍然是不严密的。因此我们在教学中有些数学定义应以学生理解为目标,不一定追求其严谨性。如同角三角函数之间关系一节教学,同角三角函数中正弦、余弦的平方关系,直接得出对任意角都成立。教学中教师试图用 =(y/r)2+(x/r)2=1,事实上这里应用了三角形的勾股定理,当角α终边在坐标轴上时,它不构成直角三角形,证明时须分类讨论,而教师教学中很少考虑此处的严谨性。反正不严谨不如直接应用这一结论,勿须再证明α为任意角时正弦、余弦平方关系。

  基于以上思想,我们可以对课程进行重新设计。如任意角三角函数定义。可以让学生复习初中所熟知的锐角三角函数定义。强调正弦函数是对边比斜边,余弦函数是邻边比斜边,正切函数是对边比邻边。以三角形的一边x轴,顶点为坐标轴原点建立直角坐标系,注意邻边,对边与点的坐标关系。转化为正弦函数是纵坐标比斜边,余弦函数是横坐标比斜边,正切函数是纵坐标比横坐标。通过练习:已知角α终边上一点P(-3,4)求角α三角函数值。强化角的任意性。

 ()在保证学生理解的基础上注意教学语言的严谨性。

  生活中有这样一个例子,讲一对夫妻劳动完回家,丈夫说:“我挑了10担水,你挑了5担水,我比你多一半,你比我少一半,应该你做饭。”妻子听了觉得理在其中,起身做饭。其实,丈夫的说法是错误的,应该是“我比你多一倍,你比我少一半”。在生活中像这样的数理错误的例子不胜枚举,但作为一个数学老师在课堂上是不能犯这样的错误。

    在课堂教学中,“大概”¸“可能”¸“估计”之类的模糊性语言只会带来学生思维上的混乱,认识上的模糊。严谨的数学语言是不能模棱两可的。正所谓“失之毫厘,谬以千里”。数学语言是一种科学构造的语言,必须严谨周密,符合逻辑。

  例如在教学《三角形的认识》这一节课时,教师对三角形下定义时,这样说:“由三条线段组成的图形是三角形”。而这是不严密的。因为这三条线段不能保证他们是封闭的。

  又例如在讲《平行线》一节时,教师这样对平行线下定义:“两条不相交的直线叫平行线。”这其实是错误的,因为定义的前提是“在同一平面内”。像在圆锥曲线的教学中都应该注意这一点。

  又例如在教学中有些教师经常有以下的一些错误的说法:“这两条平行线画得不平行”,“这个直角画得不是 ”等等。还有教师在教学中必须注意“数与数字”“时间与时刻”等数学概念不能混为一谈。

 ()在保证学生理解的基础上注意学生语言表达的严谨性。

  学生在表述数学概念时,往往不注意语言的规范性和严谨性,这时教师应该及时予以纠正,不能让学生造成错误的概念记忆。

  例如教师要及时向学生讲明“不在任一平面内”与“不在同一平面内”的错误所在,讲明“将直线画短些”和“将平面画小点”的错误之处。

  ()在保证学生理解的基础上注意教学目标的适可性及严谨性。

 新课程教学目标不但重视双基目标而且对其赋予新的内涵.新双基与过去相比,内容有所增减,例如对三角恒等变形、排列组合要求降低,增加了统计、算法与框图、导数与积分等.它更强调双基的形成过程,强调其中蕴涵的思想方法.落实双基是教师钻研教材和设计教学必须明确的问题,但由于认识上的片面,课堂教学中双基目标缺乏或含糊不清,教学中人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容仍然存在.例如,对集合中三性的训练过于细微,对定义域过于人为化的技巧训练,等等.在运算技能的训练中,经常人为地制造一些技巧性很强的高难度计算题,或者技能性不强,但是计算非常繁琐、意义不大的计算题.这样的训练往往使学生感到枯燥,我们对学生的基本技能训练,不单纯是为了熟练技巧,更重要的是使学生通过训练更好地理解数学知识的实质,体会数学的价值,因此技能训练必须有利于学生认识数学的本质.

()在保证学生理解的基础上注意教学手段的适当性及严谨性。

    数学新课程倡导学生合作交流,目的是让每个学生都动起来,形成主动学习的愿望,培养积极参与的意识。但少数年轻教师出现“放羊式”的课堂,致使自主合作学习流于形式,教学收获甚微。如在《对数函数》的教学中,上课伊始教师就让学生对照《指数函数》教学讨论其性质与应用。期间列举题型,通过各组竞赛的手段实行赢分制,美其名曰:强调团队精神,一节“放羊式”的课在嘈杂中落幕。学生是数学学习的主人,这是新课程的基本理念。在全新的教育理念下,教师的教学方式、学生的学习方式确实都应该发生根本性的变化。但在突出学生主体的同时,也强调教师的引导和组织作用。师生互动才能分享彼此的思考、经验和知识,求得共同发展。

    在新课程理念的冲击下,情景创设几乎成了数学课堂教学必不可少的环节。在情景创设时,不少教师情景创设目的不明确,创设的情景只是作为课堂摆设,情景内容脱离实际,创设的形式呆板单一,情景创设不符合学生的年龄特征,滥用多媒体等。我们认为,数学课并不是每节数学课都能够创设情景,也不是每节课都需要创设情景,更不是每节课创设的情景都能起到良好的教学效果。对于一些难以创设情境的课题,如果采取开门见山、单刀直入的方式,同样可以起到先声夺人的作用。

    新课程和新教材突出了计算机多媒体辅助教学。计算机多媒体辅助教学,将逐渐成为现代教学技术手段的主流之一。但是,由于自制课件或商品课件的设计与制作比较粗糙,有的课件不过是课本搬家,只能起到小黑板的作用;有的课堂干脆是课件“放电影”,教师成了放映员,学生成了地地道道的观众;有的教师为了展示课件的精心制作,过度采用无关的图像、音乐、动画等,使学生的注意力放在精彩的画面和悦耳的音乐上,无法专心于其蕴含的教学内容;有的课件由于制作技术的局限性或教者操作不当,人机对话取代了人际对话,师生亲和力大打折扣;有相当一部分人对多媒体辅助教学不甚了解,片面认为其效果不如传统的教学技术手段。我们应该充分认识到计算机是辅助教学,而不是教学的主宰,我们应根据内容精心制作合适的多媒体课件,使之更加贴近学生的认知结构,进而达到最佳的教学效果。

  总之,新课程下,我们要不断努力地摸索出新的教学方式,改变教学理念,提高学生们的学习兴趣。只有边实践边反思边改进,努力提升自己的综合能力,才能找到更适合学生终身发展的教学方法。

  数学内容的严谨性要求,应当是学生力所能及,而又必须经过努力才能达到的。所以,必须充分估计学生的接受能力,要从发展的观点考虑学生的潜力,使数学的严谨性要求不断提高。

参考文献1于数学严谨性教学思考》陆荣林

                  2关于数学的严谨性》     刘武

                        3 如何了解高中数学新课程教学中的问题和对策》

                  4新课程高中数学教学中的一些问题之我见》

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